A Matemática (do
grego máthēma (μάθημα):
ciência,
conhecimento,
aprendizagem;
mathēmatikós (μαθηματικός): apreciador do conhecimento) é o estudo de padrões de quantidade, estrutura, mudanças e espaço.
Um
astrónomo chinês.
Na vi
são moderna, é a investigação de estruturas abstratas definidas
axiomaticamente, usando a
lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na
Física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática, por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários sub-campos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns. Muitos matemáticos estudam as áreas que escolheram por razões estéticas – simplesmente porque eles acham que as estruturas investigadas são belas em si mesmas. Historicamente, as principais disciplinas dentro da matemática surgiram da necessidade de se efetuarem cálculos no
comércio, medir terras e predizer eventos
astronômicos. Estas três necessidades podem ser grosso modo relacionadas com as grandes subdivisões da matemática: o estudo das estruturas, o estudo dos espaços e o estudo das alterações.
O estudo de estruturas começa com os
números naturais e
números inteiros. As regras que governam as operações
aritméticas são as da
Álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na
teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da
Álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda
anéis e
corpos – estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos
números. O conceito de
vetor, importante para a física, é generalizado no
espaço vetorial e estudado na
Álgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço.
O ensino da
geometria.
O estudo do espaço se originou com a
Geometria, primeiro com a
Geometria euclidiana e a
Trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-Euclidianas, as quais cumprem importante papel na formulação da
teoria da relatividade. A
teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A
Geometria diferencial e a
Geometria algébrica generalizam a geometria em diferentes direções: a Geometria diferencial enfatiza o conceito de sistemas de
coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na Geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de
equações polinomiais. A
teoria dos grupos investiga o conceito de
simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A
topologia conecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade.
Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o
cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do conceito de
função. O campo das
equações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os
números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na
análise real, a qual foi generalizada para
análise complexa, abrangendo os
números complexos. A
análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da
mecânica quântica, entre muitas outras coisas.
Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da
teoria dos conjuntos,
lógica matemática e
teoria dos modelos.
Quando os
computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da
computabilidade,
complexidade computacional,
informação e
informação algorítmica, as quais são investigadas na
ciência da computação.
O
conjunto de Mandelbrot.
Uma teoria importante desenvolvida pelo ganhador do
Prêmio Nobel,
John Nash, é a
Teoria dos jogos, que possui atualmente aplicações nos mais diversos campos, como no estudo de disputas comerciais.
Os computadores também contribuíram para o desenvolvimento da
teoria do caos, que trata com o fato que muitos sistemas dinâmicos obedecem a leis que, na prática, tornam seu comportamento imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a
geometria dos fractais, como o conjunto de
Mandelbrot.
Um importante campo na
matemática aplicada é a
Estatística, que permite a des
crição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A
análise numérica investiga os métodos para resolver numericamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional.
