Geometria euclidiana

Na matemática, Geometria euclidiana é a geometria sobre planos ou em três dimensões baseados nos postulados de Euclides de Alexandria. O texto de Os Elementos foi a primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Foi também um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu método quanto pelo seu conteúdo matemático. O método consiste em assumir um pequeno conjunto de axiomas intuitivos, e então provar várias outras proposições (teoremas) a partir desses axiomas. Muitos dos resultados de Euclides já haviam sido afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam ser reunidas juntas em um abrangente sistema dedutivo.
O livro começa com uma sequência de Definições, procede com uma sequência de Postulados e depois uma sequência de Noções Comuns antes de partir para as demonstrações matemáticas. Em termos de lógica matemática moderna, os postulados são chamados Axiomas e as noções comuns são chamadas de regras de inferência, sendo as regras de inferência apresentadas antes dos axiomas.

Noções Comuns

Coisas que são iguais à uma mesma coisa são iguais uma à outra. Em termos de álgebra moderna,

a = b, b = c e a = c

Se iguais são adicionados à iguais, os totais são iguais. Modernizando a terminologia, temos .

a = b > a + c = b + c

Se iguais são subtraídos de iguais, os restantes são iguais.

a = b > a - c = b - c

Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma à outra. Se posso gerar a forma geométrica A através de translações, rotacões e invesões ao redor de uma reta (estas operações são conhecidas como isometrias) de uma figura B, então A e B são iguais.
O todo é maior que a parte. Utilizada no sentido de que, se A é um divisor de B, então A é menor que B.

Definições

O ponto é o que não tem parte.
A linha é um comprimento sem largura.
Os fins de uma linha são pontos.
Uma linha reta é uma linha onde os pontos estão razoavelmente com os pontos em si mesma.
etc...

Postulados

Os três primeiros postulados não são axiomas no sentido moderno, mas ações atômicas cuja realização é bem conhecida e intuitiva.Seja o seguinte postulado:
Desenhar uma linha reta de um ponto à outro ponto.
Produzir uma linha reta finita continuamente em outra linha reta.
Escrever um círculo dado qualquer centro e qualquer raio.
Todos os ângulos retos são iguais.
Se uma linha reta caindo em duas linhas retas faz a soma dos ângulos interiores do mesmo lado ser inferior à dois ângulos retos as duas linhas retas, se produzidas indefinidamente, se encontram naquele lado onde os ângulos são inferiores à dois ângulos retos.
O quinto postulado foi, durante séculos, considerado erroneamente um teorema, porém estudos de Gauss, Poliya, Boliyai e Lobachevsky durante os séculos XVIII e XIX mostraram que se trata realmente de um axioma, e que a remoção deste axioma gera o que é hoje conhecido como Geometria Não-Euclidiana.